Contenido: Funciones


  • Sucesiones y clasificación
  • Límite de funciones reales
  • Cálculo de límites indeterminados
  • Límites trigonométricos
  • Continuidad de funciones reales
  • Continuidad y discontinuidad
  • Límites laterales
  • Límites infinitos y limites en el infinito
  • Propiedades de los límites
  • Asíntotas horizontales y verticales
Anuncios

Sucesiones y Clasificación

Se llama sucesión o secuencia al conjunto de elementos encadenados o sucesivos.

Es una secuencia lógica de números ya que puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o progresión geométrica, la diferencia básica es que en la aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misa razón, es decir:

0,1,1,2,3,5,8,13, es la serie o sucesión de Fibonacci, que se logra sumando los dos números anteriores, 0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, etc.

En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, así podríamos tener una sucesión dentro de otra sucesión.

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de \mathbb{N} en X.

Clasificación

• Sucesiones convergentes

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Cálculo del término general de una sucesión

Límite = 0

Cálculo del término general de una sucesión

Límite = 1

• Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

sucesión

Límite = ∞

• Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, …

• Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

      -Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.

      -Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, …

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.

      -Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, …, (−1)n n

• Sucesiones monótonas

Una sucesion a n= { a1, a2, a3, …, a n} es monótoma cuando todos sus términos sucesivos crecen o decrecen

      -Monótona ceciente

Cuando cada uno de sus términos es menor o igual que el siguiente. Es decir      a2< ó  = a3, a3< ó = a4, …, a n < ó = a n +1

                   Ejemplo: a n ={ 2, 4,  6, 8, 10}

     

     -Monótona decreciente

Cuando cada uno de sus términos es mayor o igual que el siguiente. Es decir a  1> ó = a 2,  a3> ó a4, … , a n > ó = a n + 1

Límite de Funciones Reales

Límite de Funciones Reales

Estudio del límite de funciones en un punto; comenzaremos dicho estudio analizando la gráfica de una función. Trataremos los teoremas referentes a los límites de funciones y los límites indeterminados Estudio de la continuidad de funciones.

 

Límite de una función

La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al 1 por la derecha

x

0,9

0,99

0,999

1

1,001

1,01

1,1

f ( x )

2,71

2,9701

2,997001

¿?

3,003001

3,0301

3,31

f (x) se acerca al 3 f (x) se acerca al 3

La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos

 

Definición de límite de una función

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una tal que

si entonces

Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista.

Límites de Funciones Trigonométricas

Límites de las funciones trigonométricas

Teorema:

Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumple:
12
 Cuando calculamos límites trigonométricos es necesario recordar las siguientes identidades básicas:
Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que sonde gran utilidad al evaluar límites trigonométricos:1.
Límite especial 1
 Podemos deducir entonces que:
Ejemplo 1: Hallar el valor de
En esta función debemos aplicar la propiedad fundamentalde los racionales que me permite hallar racionales equivalentes:
Multipliquemos numerador y denominador por 3:

Continuidad y Discontinuidad de una Función

Diremos que la funcion y= f(x) es continua de x=a si:

a. Existe f(a), es decir, f(x) esta definida en x=a

b. Existe el   \lim_{x \to c}f(x)\quad

c.  Ambos valores coinciden, es decir f(a) = \lim_{x \to c}f(x)\quad

Discontinuidades

se dice que una funcion y = f (x) es discontinua en x=a si no es continua es decir,no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

Clasificación de la discontinuidad de una función

La discontinuidad de una funcion puede ser clasificada

EVITABLE

Cuando  existe el  con pero no coinciden con el valor de f(a) ya sea porque son distintos los valores o no existe f(a)

Ejemplo 1

Dadaa  no existe f(2) pero si existe.

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe  y este es finito

Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:

1. La funcion no  esta definida x = a

                     

2. La imagen no coincide con el limite.

Cuando una funcion presenta una sicontinuidad evitable en un punto  se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una funcion continua.

Las dos funciones estudiadas anteriormente las definimos de modo que:

a) De alto: Cuando existe el limite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

CON SALTO FINITO:

Cuando existe el limite por la derecha y por la izquierda ( siendo ambos finitos) pero no coinciden.

salto                                                                discont. evitable

C) Asintotica: Cuando alguno de los limites laterales ( o ambos) no es infinite. Puede ser asintotica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

D) Esencial: Cuando no existe alguno de los limites laterales ( 0 ambos). Puede ser lo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.

Si y = f(x) tiene discontinuidad evitable x = a, llamaremos verdadero valor de la funcion en x = a al . Dicho valor

Si y = f(x) tiene discontinuidad de salto en x = a, llamaremos salto de la funcion en x = a al valor

Límites Laterales

Los límites laterales de una función y=f(x) para x tendiendo al valor finito “a”, por la derecha o por la izquierda según corresponda, serán(si es que existen)valores Ld(límite lateral derecho) y Li(límite lateral izquierdo)que cumplan las siguientes condiciones:

a) El límite de f(x) para x tendiendo al valor “a” por la derecha es Ld , si la función puede acercarse tanto como se quiera al valor Ld con tal de tomar x suficientemente próximo al valor “a” pero siendo siempre x mayor que “a”.

b) El límite de f(x) para x tendiendo al valor “a” por la izquierda es Li , si la función puede acercarse tanto como se quiera al valor Li con tal de tomar x suficientemente próximo al valor “a” pero siendo siempre x menor que “a”.

c) Solamente si Ld=Li podemos decir que la función f(x) tiene límite finito L(siendo L=Ld=Li) para x tendiendo al valor “a”(si no se aclara nada significa que x puede tender al valor “a” tanto por la derecha como por la izquierda y que el límite en ambos casos es L).

Ejemplo:

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

función a trozos.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

límite

Por la derecha:

límite

Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

límite

Por la derecha:

límite

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

 

Asíntotas Horizontales y Verticales

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

Definición

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

es la asíntota vertical.

es la asíntota vertical.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

 es la asíntota horizontal.

Asíntotas horizontales

 

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

Ejercicios de Aplicación

1. La petición del inventor de ajedrez.

Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo cual le dijo: “Pídeme lo que quieras, que te lo daré”.

El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente:

“Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciseis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64”.

La sorpresa fue cuando el secretario del príncipe calculó la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era insuficiente para obtener el trigo que pedía el inventor.

¿Cuántos trillones de granos de trigo pedía aproximadamente?

Utliliza la calculadora para hallar el total de granos de trigo:

1 + 2 + 22 + 23 + … + 262 + 263

2. Al ejercitar un músculo, éste aumenta 3 milímetros el primer día. Además, el incremento de cada día es igual a 0.95 del incremento del día anterior. ¿Cuál será el incremento total al final del día 18?

Solución: Evidentemente, r = 0.95, de modo que el término general es: a . 0.95n–1. Para obtener a sustituimos n = 1 en el primer término: a . 0.951–1 = 3 Þ a = 3. Por tanto, el término general es: 3 ´ 0.95n–1.

Para obtener el crecimiento total al final del día 18, sustituimos a = 3, r = 0.95 y n = 18 en la fórmula (1): 3(0.9518 – 1)/(0.95 – 1) = 36.17 cm.

 3.  La población de cierta ciudad era de 3’000 000 de habitantes en el año 1999. Si la población aumenta cada año a un ritmo del 3.2 %, determinar:

a) el número de habitantes para el año 2005

a = 3 000 000 ; r = 1.032 ; n = 7 ; u = ?

u =ar n-1

u = 3,000,000 (1.032) 7-1 = 3,624,094

b) el número de habitantes para el año 2009

La respuesta es 3’983 259 habitantes

4. El teleauditorio de un exitoso programa de televisión se ha incrementado en un 8% mensual, ¿que teleauditorio tendrá ahora si hace 7 meses tenía 10 000 000?

a = 10’000 000 ; r = 1.08 ; n = 8 ; u = ?

La respuesta es 17’138 243

5. Una persona consigue un préstamo de $ 20 000.00 en un banco, la tasa de interés que se le va a aplicar es del 3.8 % mensual. Calcular la cantidad total de dinero que va a pagar en 6 meses.

a = 20 000 ; r = 1.038 ; n = 7 u = ?

La respuesta es $ 25 015.78

6.  Tenemos una pareja de conejos, si en cada parto obtenemos una nueva pareja y cada nueva pareja tarda un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un mes . Cuantas parejas tendremos en 12 meses?

Respuesta:

Parejas :1,  primer mes: 2; segundo : 4; tercero:5; cuarto:8; sexto:21; septimo: 24; octavo: 55; noveno: 89 ..

7.  Alguna vez se ha preguntado porque la Gioconda transmite tanta armonia?

La cara esta perfectamente encuadrad en un rectangulo aureo, al igual que le resto de proporciones de la misma.

1.618… el numero de oro

Existe un numero, que indica una relacion entre distancias, que se repite constantemente en la naturaleza sin que nadie haya sabido explicar aun porque. Fue un comerciante italiano llamado Leonardo de Pisa y apodado Fibonacci quien escribio la serie que lleva su nombre y que contenia en su interio el enigmatico “numero de oro”.

Web-grafía y Bibliografía

http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc2_Contenidos.html

•http://www.monografias.com/trabajos59/limite-continuidad-funciones/limite-continuidad-funciones.shtml

http://www.vitutor.com/fun/3/a_7.html

http://matematica.50webs.com/calculo-de-limites.html

http://www.vitutor.com/fun/3/a_7.html

• Libro: Matemáticas 11, Santa Dorotea